Иванов, А.А. Автоматизация технологических процессов и производств

50 Глава 2. Технико -экономи чески е х ар ак тери сти ки ... Рассмотрим пример. Пусть техническая система состоит из п = 500 элементов при р = 0,002. Требуется найти следующее распределение вероятностей: а) откажет ровно к = 3 элемента; б) менее 3; в) более 3; г) хотя бы 1элемент. Решение. Условия задачи удовлетворяют распределению Пуассо­ на. Определим интенсивность потока отказов: X = 500 • 0,002 = 1. 1. / ^ ( З ) = 13/3! ■<Г1= 0,36788/6 = 0,0613. 2. Сумма вероятностей, кроме к = 3: ^500(<3) = />500(0) + Лоо(1) + W ) = е '1+ е~1+еГ ‘/2 = 0,9197. 3. Противоположное событие —отказало не более 3 элементов (это сумма вероятностей, включая к = 3): Р5 оо(>3) = 1 - 9 = 1- (0,9197 + 0,0613) = 0,019 (см. п. 1и 2). 4. Противоположное событие — не отказал ни один элемент (к = 0): Р = 1- />5оо(0) - 1 - 0,36788 = 0,632. Если в п испытаниях вероятности р, появления события (отказа) не равны, то используют производящую функцию типа <P„U) = iP\Z + Q\)(P2Z + Ь ) - (PnZ + Яп)> где z —некоторая переменная. Вероятность Р„(к) равна коэффициенту при t в разложении про­ изводящей функции по степеням z■ Например, для п = 2 имеем: ф2(г) = (P iZ +Qi)(p2Z + q2) =РіР 2 *?+ (Рі Я 2 +Рг 4\)Z + Ч\Яъ где Р2( 2) =рхр2; Р2( 1) = (р, q2+р2qx)\ Р2( 0) = qxq2. Рассмотрим пример. Устройство состоит из трех независимо рабо­ тающих элементов, вероятности безотказной работы которых за пе­ риод t равны: р х = 0,7; р2 = 0,8; р3= 0.9. Найти следующее распределение вероятностей отказов за пе­ риод t: а) все 3 элемента будут работать безотказно {к = 0); б) только 2 элемента (к = 1);