Разделив обе части на sin((p+ 1/2)тг), сведем дело к известному тождеству sin(t/2) —sin(3£/2) = —2 cos(t) sin(i/2). 1 .12 .4 . Косинус-преобразование Матрицы .4 2, 4.1 симметрические, все их собственные значения различны, поэтому найденные собственные векторы попарно ортогональны. Две оставшиеся матрицы не являются симметричными, поэтому нельзя утверждать, что их собственные векторы ортогональны. Однако их легко сделать симметричными с помощью диагональных матриц Ог, i — 1,3 согласно формуле Л* = Д - | Л»Д. Если а собственный вектор матрицы Аі, то Д- 1 а есть собственный вектор матрицы Л,, и именно по ним идет разложение. Д = di ag( \ /2, 1 , . . . , 1 , \ /2). Д = di ag( \ f 2,1 , . . . , 1). Чтобы сделать преобразование ортогональным, нужно нормировать найденные собственные векторы. Задачи 1. Выполнить проверку условий для г = 1,2,3. 2. Найти связь между матрицами: обратной к Л2 и Л3 (после проведения нормировки векторов). 1 .12 .5 . Преобразование г = 4 Рассмотрим более подробно преобразование с i = 4. Как отмечалось выше, найденные собственные векторы ортогональны. Покажем, что все эти векторы имеют одинаковые длины. П редлож ение 1 1 . Пусть М —матрица из собственных векторов матрицы Л4, построенных выше. Тогда М -М Т = N/ 2 ■I. Доказательство . Имеем М\ р, :] = (c o s ( l /2( p + l /2)7r/iV), c o s ( ( l /2+ l ) (p - |- l /2)7r/iV),. . . ) .
RkJQdWJsaXNoZXIy MTExODQxMg==