1.12.2. Преобразование Хартли Обозначим через саs(t) = cos(i)+sin(i). В пространстве строк длины N рассмотрим векторы Р к — —^ = { c a s ( 0 ) , c a s ( 2 7 r f c / i V ) , V N cas(2iT2k/N) , . . . , cas(2nk{N - 1 )/N))). Предложение 10. Векторы pk, k = 0 , 1 , . . . , N —1 образуют ортонормираванную базу в пространстве строк длины N. Доказательство . По определению Вк = ^ д ^ ( Р к + а к ) . (1.47) Из формул (1.43. 1.44, 1.45, 1.46) следует, что каждый из этих векторов имеет длину 1. Нуждается в доказательстве только формула (pk,PN-k) = 0. Так как а*, = а^г-к>a 0k = —@N-k, нужное утверждение следует из (1.47). Если v = (ДО],. . . , x[N —1]) —произвольный вектор длины N, то его преобразование Хартли и обращение задаются формулами Нк = {у, Рк), v = ^ 2 Нкрк. (1.48) к 1 .12 .3 . Собственные векторы матриц специального вида Функция cos обладает следующим замечательным свойством: для любого угла t - cos((k - l) i ) + 2cos(fcf) - cos ((к + 1)£) = 2cos(/ci)(l - cos (t)). (1.49)
RkJQdWJsaXNoZXIy MTExODQxMg==