определении ДПФ. Было показано, что они попарно ортогональны (1.16). Заметим, что у матрицы Aq имеются кратные корни, поскольку cos(27rk /N) = cos(27r(Ar —k) /N) ) , то есть векторы 7*, и принадлежат одному и тому же собственному значению. Напомним, что любая линейная комбинация собственных векторов, принадлежащих одному собственному значению, всегда будет собственным вектором. В частности, таковыми будут векторы Як v/2Ь к + 7 N - k ) = = \/2(1, cos(2irk/N).... ,cos(2nk(N — 1 )/N)) P k = - Д = ( 7 ь - 7 N - k ) = JV 2 = 4/2(0, sm(2nk/N) , ... ,sin(2nk(N - 1)//V)), к фN/2 В матричной форме связь между векторами а , /3,7 имеет вид ( РІ ) = 71 ( ~3 J ) ( In- к ) ’ к> °- Поскольку матрица 1 - 3 1 3 удовлетворяет условию (4.7). при к ф N —к справедливы равенства (<*к,(Хк) = {Рк,Рк) = b k , l k ) = N, (1-43) (<Хк,Рк) = b k , l N - k ) = о, (1-44) (о<к,ап) = {Рк,&п) = 0, к ф п , к к ф М - п . (1-45) Равенство (1.45) следует из того, что векторы являются собственными векторами симметрической матрицы и отвечают разным собственным значениям. Отдельно следует рассмотреть случай, когда к = N/2. В этом случае Рк = Ө, a k = V2 ( 1 , - 1 , 1 , - 1 . . . . , ) . (1.46)
RkJQdWJsaXNoZXIy MTExODQxMg==