в ДПФ, получим и виде набора собственных векторов некоторой симметрической матрицы. Напомним, что из таких векторов всегда можно построить ортонормированный базис линейного пространства строк (см. пункт «Собственные векторы и собственные значения матрицы» в Приложении). Рассмотрим матрицу вида / 2 —1 0 т-Н 1 - 1 2 - 1 0 . . . 0 II о 0 - 1 2 - 1 . . . 1 - 1 о • • • - 1 2 / В каждой строке матрицы два элемента равны —1, один равен 2, а остальные элементы — нулевые. Это симметрическая матрица, а отвечающая ей квадратичная форма имеет вид ХІ + (х0 - ад)2 + (x i - Х2)2 -I-------1- - 2xqXn- i - Это неотрицательно определенная квадратичная форма, поэтому все характеристические числа матрицы неотрицательны. Положим w — exp( 2nj /N) . Покажем, что векторы 7к = (1, wk, w2k, . . . , w l~N~1^k)T есть собственные векторы для матрицы Д0. Действительно, для любой внутренней строки матрицы До с номером р + 1 имеем - wkp + 2w{p+1)k - w (p+2)k = = w (p+1)k{ - w ~ k + 2 - w k) = ie(p+1)fc2(1 - cos(2irk/N)). Среди собственных значений вида 2(1 —cos(27rk /N) ) матрицы До только одно, отвечающее к = 0, равно 0, а все остальные числа положительны. Нулевому значению отвечает собственный вектор ( 1 ,1 , . . . 1), и все остальные собственные векторы ему ортогональны. Поскольку матрица вещественная и симметрическая, ее собственные векторы ортогональны (в комплексном смысле). Ранее векторы 7*, были введены при
RkJQdWJsaXNoZXIy MTExODQxMg==