5 = 0 ,0 ,1 ,0 ,0 , . . . ) . где J[0] = 1и <5[п] = 0, п ф 0. Действительно, из определения свертки вытекает, что ЭС у[п} = <5[/c]/i[n —/с] = h[n\. к = — оо Функция Н(ги) есть преобразование Фурье от функции отклика, эо H(w) — h{k}e~2*jkw. (1.34) к = —ос Она называется передаточной функцией фильтра. Функция H(w) имеет период, равный 1, поэтому ее значения рассматривают при w £ [—0.5,0.5]. Как правило, коэффициенты Л[п] считаются вещественными, поэтому ОС H(w) = h[k]e2*jkw = H { - w ) . k = — oo С другой стороны, в формуле (1.33) нас интересует усиление или ослабление сигнала в результате фильтрации па определенной частоте, поэтому основной характеристикой является \H(w)\ = |Я(и>)| = |Н(—га)|. Это означает, что в вещественном случае достаточно рассматривать значения функции H(w) при w £ [0,0.5]. Если последовательность h[n] имеет лишь конечное число элементов, отличных от нуля, то в этом случае вычисление свертки не вызывает затруднений. В противном случае возникает проблема устойчивости фильтра. Чтобы свертка бесконечных последовательностей имела смысл, надо ввести дополнительные ограничения. Определение 1. Фильтр называется устойчивым, если он переводит любую ограниченную последовательность в ограниченную. Предлож ение 9. Фильтр устойчив тогда и только тогда, когда |/г[п]| < эо. (1.35) П
RkJQdWJsaXNoZXIy MTExODQxMg==