Найдем формулу, восстанавливающую функцию по ес дискретным значениям. Из (1.24) следует, что 1/2Т > М, поэтому в интервале [—1/2Т, 1/2Т] находится носитель F(w) и этот интервал не пересекается с носителями других слагаемых. Положим H(w) = 1, |ш| < 1/2Т и H(w) = 0 в остальных точках. Обратное преобразование Фурье от этой функции имеет вид Согласно (1.31). F{w) = TY(w)H(w) . Переходя к обратным преобразованиям, получим Формула (1.32) позволяет восстановить функцию по ее значениям в точках при сделанных предположениях о спектре и частоте выборки. Эта формула имеет в основном теоретическое значение, поскольку для получения значения в одной точке t надо знать величины f (nT) для всех целых п. На практике для восстановления значений функции в промежуточных точках можно воспользоваться конечным числом слагаемых в (1.32). Другой способ — использовать сплайны, построенные по нескольким точкам. Замечание. В неравенстве (1.24) нельзя заменить знак на меньше или равно. Положим f ( t ) = sin(27r<). Спектр этой функции сосредоточен в двух точках: w — ±1, поэтому для этой точки М = 1. Если Т = 1/2М = 1/2, то легко убедиться, что sin(27rnT) = 0, (Vn), и саму функцию по этим значениям восстановить нельзя. Упражнение 1. Дайте доказательство формул (1.26). 2. Используя свойство ортогональности преобразования Фу1/2Т = Th( t) * J 2 /(*Ж * ~ nT) = T J 2 f (nT)h( t - пТ).
RkJQdWJsaXNoZXIy MTExODQxMg==