Это функционал, который после применения к произвольной функции f ( t ) дает / — ОО ОС f ( t )u( t )dt = /(пТ ) = П = — ОО В частности, преобразование Фурье от этого функционала: . ОО U { w ) = / e - 27rjwtu { t ) d t = ^ 2 e - 2njwnT = I { w ) . В этих обозначениях можем переписать определение У (w) из (1.26): ОО Уи = J f { t ) 6{t - nT)e~2*jwtdt. — ОО Предлож ение 8. Преобразование Фурье от единичной последовательности определяется формулой u(t) <=> U(w) = (w - *pj . (1.30) Доказательство. Сначала рассмотрим частный случай Т — 1. Положим лоо N Un(w) = / S(t —n) exp (—2Trjwt)dt = N = exp(—2-niwn). n = - N Обратим внимание на то, что это периодическая функция с периодом 1, представленная суммой геометрической прогрессии. Имеем: exp{—2-njNw) —exp(27rj(lV + 1)ги) 1 —ехр(27Г7'ге)
RkJQdWJsaXNoZXIy MTExODQxMg==