Теорема 1. (Котельников -Ш еннон .) Пусть F(w) есть преобразование Фурье от функции f{ t ) . Предположим, что существует такое число М, что |F(to)| = 0 при |w>| > М. Тогда функцию f ( t ) можно восстановить по последовательности у[п]. если Т < 1 2М' (1.24) Эта теорема является фундаментом, на котором покоится вся цифровая запись речевых и музыкальных файлов. Доказательство теоремы представляет определенные сложности, и при первом чтении его можно опустить. 1.8.1. Выборка значений функции с шагом Т * До сих пор мы рассматривали преобразование Фурье от последовательностей значений функции, когда выборка производилась с шагом 1. В этом пункте нам понадобятся аналогичные формулы, когда шаг равен произвольному числу Т. Положим F ( w ) = J f ( t ) e - 2*jwtdt, —О (1.25) оо | = ^ 2 /(яТ ) ехр(—2njTwn) . (1.26) Наша конечная цель — найти связь между этими функциями. Умножим обе части равенства (1.26) на exp(2njTwk) и проинтегрируем по w от —1/ 2Т до 1/2Г. Поскольку 1 /2Т J e2njwpTdw = - 1 / 2 Г если р ф О если р = О, находим, что ПпТ) (1.27)
RkJQdWJsaXNoZXIy MTExODQxMg==