1.7. ДПФ и корреляция между двумя последовательностями Продолжим изучение свойств ДПФ. 1 .7.1. Свертка последовательностей Дня дискретного преобразования Фурье имеют место свойства. аналогичные свойствам обычного преобразования Фурье. Все исходные функции считаются периодическими с периодом N, поэтому можно определить свертку двух функций как N - 1 h[n\ = f[n\ * д[п\ = £ / [ п - к]д[к]. (1.21) к=0 Если какой-то индекс р в (1.21) становится отрицательным, заменяем его на p + N . Свертка является коммутативной операцией. Действительно, положим в (1.21) п —к = п'. Тогда к —п —п' и функции / и д в (1.21) поменяются местами. Предложение 6. Преобразование Фурье от свертки равно произведению преобразований от сомножителей, то есть H(k) = F(k)G(k). Доказательство N - 1 Н(к) = £ h{n]e~2^ nklN = £ £ / [ n - ™ ] 9H e~2*jnk/N = n = О n m Изменим порядок суммирования и продолжим равенство = £ g[m\ £ f [n - Tn}e-2^ n~m+m^ N = m n = ^ ( ( H e - 2*irat/N^ / [ n - т\ е- 2жі(п-m )k /N = G{k)F(k). m n Последнее равенство получается путем замены п —т на новую переменную с учетом периодичности всех входящих в сумму выражений.
RkJQdWJsaXNoZXIy MTExODQxMg==