образом (4.5): JV-l (/.*> = £ / ( * > * ( * ) . к -О В этом пространств? рассмотрим набор векторов, составленный из значений функций х* (0 ) , . . . , Xk(N - 1), построенных согласно правилу Ы х ) = 7 ^ е № / Л ’А' = 0Л ...... N ~ L Предлож ение 5. Функции Хк составляют ортонормиро- ванпый базис пространства. Доказательство Согласно определению. JV-1 | = ___ e 2 n j m x / N e - 2 n j n x / N _ х=0 1 N~l = — ^ exp(2Trj(m - n ) / N) ) x. х= 0 Это геометрическая прогрессия, знаменатель которой равен z —exp(2Trj(m—n) /N) ) . Если т = п, то знаменатель равен 1, и вся сумма равняется 1. В противном случае воспользуемся формулой для суммы геометрической прогрессии: I + Z + z 2 + ■■■+ z N~l = “ Г — — • 1 —z Поскольку z N = 1, (см. 4.11), заключаем (XmiXn) = Фп,П! (1.16) что завершает доказательство. Применяя формулы (4.3) к произвольной функции / , по-
RkJQdWJsaXNoZXIy MTExODQxMg==