и собирая коэффициенты при одинаковых степенях, получим X(w )Y{w) = ]T z [ n ] e -27rtum, (1.15) 71 где z[n\ = х[п] * у[п]. Сравнивая (112) и (1.15), завершаем доказательство утверждения. 1.6. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) ДПФ является наиболее распространенным аппаратом исследования цифровых сигналов. При машинной обработке вместо интеграла Фурье или преобразования Фурье от последовательности приходится пользоваться приближением, подсчитанным с помощью конечной суммы. Однако остается возможность оценки значения преобразования Фурье сигнала в любой точке. При использовании ДПФ получают лишь дискретные оценки частот в сигнале, этим обстоятельством объясняется название данного метода. В результате возникают дополнительные эффекты, а теория ДПФ становится самостоятельной дисциплиной. 1 .6.1. Определение ДПФ Как и в случае преобразования Фурье от функций, в основе ДПФ лежит понятие линейного пространства вместе со скалярным произведением. Рассмотрим ^-мерное пространство последовательностей длины N. Каждый элемент этого пространства есть последовательность (оо,. . . ,a jv - i) длины N. Мы можем рассматривать эту последовательность как набор значений /(0 ) , / (1 ) , . . . , f ( N - 1), некоторой функции f ( x) в точках х = 0,1, , , N — 1. В общем случае значения этой функции являются комплексными числами. Функция / считается периодической с периодом N. В пространстве определено скалярное произведение двух функций стандартным
RkJQdWJsaXNoZXIy MTExODQxMg==