Свертка двух преобразований Фурье от последовательностей обозначается символом Z(w) = X(w) * Y(w) и определяется формулой 1 Z{w) = J X {w - t )Y( t )dt . о Предлож ение 4. Преобразование Фурье от свертки двух последовательностей равняется произведению их преобразований Фурье, а преобразование Фурье от произведения двух последовательностей есть свертка их преобразований Фурье. Доказательство . Найдем преобразование Фурье от произведения последовательностей. Имеем 1 г х[п]у[п] = J X(u) e2”jundu J Y( v ) e2njvndv = О о 1 1 X(u )Y( v ) e2nin(u+v)dudv. о п Сделаем замену переменных, положив и + v = w. В силу периодичности подынтегральных функций с периодом 1. интеграл по любому интервалу длины 1 равен этому интегралу по интервалу [0,1]. Теперь интеграл переписывается в следующем виде 1 1 e2njnwdw J Y{w - u)X(u)du. о о Из (1.14) следует первая часть утверждения, поскольку x[n]j/[n] получены как результат обратного преобразования Фурье от свертки. Найдем преобразование от свертки. Перемножая эти ряды оо оо * (« > )= Ф і е " 2"**"*, ^ И = J 2 y[n]e-2njwn п = — оо п = —оо
RkJQdWJsaXNoZXIy MTExODQxMg==