1. Если f ( t ) F{w) ,g{ t ) о G{w), то af ( t ) + bg(t) <=> aF{w) + bG(w). 2. f ( t —а) exp(—27Гjwa)F(w) . 3. / ( a i ) * > * G ( * ) . 4. f ' ( t ) <=> 2iTjwF(w). Первые три формулы вытекают из определения, а последняя получается дифференцированием под знаком интеграла в (1.5). Сверткой двух функций называется функция h(t) = f ( t ) * g(t), заданная формулой: ОО h(t) = J f i t - x)g(x)dx. (1.6) — ОО Предлож ение 2. f ( t ) * g ( t ) ^ F ( w ) G ( w ) . (1.7) Доказательство. J f i t ) * g(t )e~2lTjwtdt = J e~2^ wtdt J f ( t - u)g{u)du = Поменяем порядок интегрирования и положим t —и = t ' . = J g{u)du J f { t - u ) e - 2njw^~u+u)dt = = J g(u)e -2irjwu J f { t ' ) e - 2irjwt'dt' = G(w)F(w). Двойственное соотношение имеет вид f( t )g ( t )< *F (w )*G (w ) . (1.8) Вообще говоря, не предполагается, что функция f { t ) — вещественная. Если же это так, то F{w) = J / ( t ) e - 2P « « * d t = J f { t ) e2pijwtdt = F ( - w ) ,
RkJQdWJsaXNoZXIy MTExODQxMg==