базис является ортонормированным (см. Приложение). Формул}’ (1.4) интуитивно можно рассматривать как обоснование ортогональности базиса, состоящего из функций вида fw(t) = ехр(27гjwt ) , поэтому должна быть справедлива формула (1.5) ОС № = / F(w) exp(2njwt )dw, (1.5) — ОС восстанавливающая функцию по ее скалярным произведениям с базисными векторами. Докажем эту формулу. Прежде всего, заметим, что формула (1.5) справедлива для F(w) = 6(w). В общем случае имеем ОС ОО J exp(2Trjwt)dw j ехр(—2лjwu) f (u)du ОС ОО = J(fu)duj ехр(—2 njw(u - t)dw= — o o — ОО ОО — Jf{u)S(ut—)du=f(t). — ОС Приведённое доказательство ни в коем случае нельзя признать строгим. Это всего лишь намек на справедливость формулы (1.5), которую надо доказать. На самом деле существует обширная литература, посвященная описанию ситуаций, в которых справедливы формулы обращения в том или ином смысле. Мы не будем останавливаться на этом вопросе. 1 .4.4. Основные свойства преобразования Фурье Связь между функцией и ее преобразованием Фурье (образом) обозначают символом f ( t ) <=> F(w). Перечислим наиболее важные формулы, связанные с преобразованием Фурье:
RkJQdWJsaXNoZXIy MTExODQxMg==