П редлож ение 1. Пусть ip(x),%l>'(x) интегрирушые функции. Тогда ь J 'ф(х) cos (nx)dx —¥ 0, п 4 о о . а Доказательство проводится интегрированием по частям. Имеем ь J ф{х) cos(nx)dx = —sin (пх)ф(х) |д ~ ~ J s^ ( nx)^' ix )dx. а Оба слагаемых стремятся к 0, если п -* оо. Аналогичное утверждение справедливо и для интеграла, содержащего sin(пх). У доказанного предложения имеется простой содержательный смысл. Если п велико, то функция h(x) = cos (пх) быстро осциллирует и умножается на функцию, которая меняется медленно. В результате интегрирования близкие значения ф(х) умножаются на значения функции h(x) с разными знаками, что при суммировании дает близкую к 0 величину. Из курса анализа известна формула /sin(x) X dx = 7г/ 2 . Отсюда следует, что [ sin(Nx) , J — i x =1/2 при любом положительном N. Однако /sin (Nx)dx = х [ sin (Nx) , f sin (Nx) , /—--dLx+ /—---dx,a> 0. J x J x 0 a
RkJQdWJsaXNoZXIy MTExODQxMg==