ф{х) = ехр ( — - ------— ) , х 6 [а, 6], и ф(х) — 0 в остальных точках. По определению последовательность фп(х) £ К стремится к функции ф(х) £ К, если все эти функции имеют общий компактный носитель и в каждой точке имеет место обычная сходимость. Непрерывный функционал - это линейное отображение / : К —>С ( С множество комплексных чисел), причем из фп{х) —» ф(х) следует / ( фп) —э / (ф) . Если и(х) — интегрируемая функция, то ей соответствует функционал и(ф) = f ф(х)и(:v)dx. Однако существуют функционалы, не представимые в указанной форме. Например, А(ф) = у)(0) является непрерывным функционалом. Он записывается в форме ф(0) = f ф(х)д(х)Фх и называется 5-функцией. Хотя этот функционал нельзя представить с помощью обычной функции, можно ввести Фобразную последовательность. Положим 5п(х) = п/ 2 при —1 / п < х < 1 / п и 0 в остальных точках. Интеграл от <5п(х) равен 1. При больших п функция ф{х) £ К представима в виде ф{х) = ф(0) +хф ' (0) + 0 ( п -2 ) при —1/п < х < 1 / п . поэтому 1 / п I ф(х)5п(х)с1х = ф(0) + 0 ( п ~ 2) - 1 / п (второе слагаемое исчезает в силу симметричности). Это означает, что функционал 6(х) можно представить в виде предела обычных функционалов. Упражнение 1. Дайте строгое доказательство утверждения о том, что функция Ф(х) = ехр(— ------— ) , х € [а, Ъ\, х —о х —а и ф(х) = 0 в остальных точках принадлежит пространству К.
RkJQdWJsaXNoZXIy MTExODQxMg==