втором —векторами являются конкретные объекты, строки длины N, и скалярное произведение задано в явной форме. Отметим еще один пример линейного пространства интегрируемых функций / . заданных на некотором множестве S, для которых имеет смысл ( f , g) = f{x)g(x)dx. Это пространство имеет бесконечную размерность. Матрица Q называется ортогональной, если QQT = I, где I — единичная матрица. Для любых двух вещественных столбцов п и /3 имеет место равенство (Qa,Q/3) = (a,/3) (4.6) тогда и только тогда, когда Q вещественная ортогональная матрица. Аналог формулы (4.6) в комплексном случае имеет место тогда и только тогда, когда QTQ = I. (4.7) 4 .1 .6 , Скалярное произведение как мера близости двух векторов Для любых двух векторов имеет место неравенство Коши |(<*,0) < N N . (4.8) причем равенство наступает лишь в случае линейной зависимости этих векторов. Это замечание лежит в основе многих формул, когда требуется сравнить близость двух векторов. Если |а| = |/3| = 1, то из (4.8) следует, что (а, /?) < 1, равенство возможно только при совпадении векторов. Это означает, что 1 —(а, /3) можно рассматривать как меру близости двух векторов. Возникает вопрос, как эта мера связана с евклидовой нормой: |о-/3|2 = (Q -0 .O - /3 )= (о,а) + (0 ,0 ) -2 (а ,0 ) = 2(1-(в,0)). Это означает, что одну меру близости двух векторов можно заменить другой, если длины векторов совпадают. В общем
RkJQdWJsaXNoZXIy MTExODQxMg==