МАГИСТРАТУРА Е. Л. Столов ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ ВОДЯНЫЕ ЗНАКИ В АУДИОФАЙЛАХ il il 1 l!,I Д (<i - 4) + -i Д о.'.ч- = k=0 [ck+ jskf = Д '-xpi./i i - + <■)(-';'+ 1 к <Щ>и((Р + 1/2)*/Л')53 + 1)»I www.e.lanbook.com ^ Э Б С И ЛАНЬ м 40 so во л ао
Е. Л. СТОЛОВ ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ ВОДЯНЫЕ ЗНАКИ В АУДИОФАЙЛАХ Учебное пособие• • САНКТ-ПЕТЕРБУРГ • •МОСКВА •КРАСНОДАР • •2021-
ББК 32.973я73 С 81 Столов Е. Л. С 81 Цифровая обработка сигналов. Водяные знаки в аудиофайлах: Учебное пособие.— СПб.: Издательство «Лань*, 2021. — 176 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература). ISBN 978-5-8114-3014-7 Основным содержанием пособия является изложение методов работы с цифровыми водяными знаками в аудиофайлах. Чтобы сделать изложение независимым от дополнительных учебников, добавлена глава, включающая необходимые сведения из курса «Цифровая обработка сигналов». Все излагаемые алгоритмы сопровождаются скриптами на языке Python, что позволяет проверить эффективность предложенных методов. Пособие предназначено для студентов, специализирующихся по информационной безопасности. ББК 32.973я73 Обложка Е. А. ВЛАСОВА © Издательство «Лань», 2021 © Е. Л. Столов, 2021 © Издательство «Лань», художественное оформление, 2021
Оглавление 1 ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ . ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 9 1.1 В в е д ен и е ..................................................................... 9 1.2 Звуковой сигнал и его оцифровка........................................................ 13 1.2.1 Стробирование сигнала .............................. 13 1.2.2 Шум от оцифровки сигнала и его о ц е н к а ................................................. 14 1.2.3 Формат w a v ................................................. 1G 1.3 Преобразование Фурье от функции.................................................................. 17 1.3.1 Обобщенные функции * .......................... 18 1.4 Преобразование Фурье и обобщенные функции........................................... 20 1.4.1 Преобразование Фурье от единицы * . . 20 1.4.2 Операции с дельта-функцией................ 23 1.4.3 Формула обращения ................................. 24 1.4.4 Основные свойства преобразования Ф урье .............................................................. 25 1.4.5 Автокорреляция........................................... 27 1.5 Преобразование Фурье от последовательности ........................................... 28 1.5.1 Определение преобразования................. 28 1.5.2 Используемые обозначения .................... 29 1.5.3 Свойства преобразования Фурье от последовательности.............................. 29
1.5.4 Свертка ............... 1.6 Дискретное преобразование Фурье (ДГІФ) .......................................................... 32 1.6.1 Определение ДПФ .................................... 32 1.6.2 Связь ряда Фурье и Д П Ф ....................... 34 1.6.3 Преобразование вещественных последовательностей................................. 35 1.6.4 Оценки спектра произвольного сигнала с помощью ДПФ .......................... 37 1.6.5 Сглаживание выборки при оценке спектра.............................................. 39 1.7 ДПФ и корреляция между двумя последовательностями .............................................................. 40 1.7.1 Свертка последовательностей................ 40 1.7.2 Корреляция между двумя последовательностями .............................. 41 1.8 Восстановление функции по дискретным значениям .................................... 43 1.8.1 Выборка значений функции с шагом Т * ................................................. 44 1.8.2 Преобразование Фурье от единичной последовательности * .................................... 45 1.8.3 Формула Шеннона для значений функции, восстановленной по дискретным значениям ....................... 48 1.9 Линейные фильтры ................................................. 50 1.9.1 Основные определения и обозначения . 50 1.9.2 Фильтры с конечным временем отклика........................................................... 52 1.9.3 Фильтры с бесконечным временем отклика........................................................... 53 1.9.4 Устойчивость IIR фильтров первого порядка........................................................... 54 1.9.5 Соединение фильтров................................. 54 1.9.6 Устойчивость фильтра в общем случае.............................................................. 55 1.10 Реализация фильтров.............................................. 57
1.10.1 Проектирование фильтров....................... 58 1.11 Идеальный ф и л ь т р ................................................. G2 1.11.1 Спецификация ф и л ь т р а .......................... 64 1.12 Вещественные ортогональные преобразования, связанные с ДПФ ........................................................................... 65 1.12.1 ДПФ и матрицы........................................... 65 1.12.2 Преобразование Х а р т л и .......................... 68 1.12.3 Собственные векторы матриц специального вида........................................ 68 1.12.4 Косинус-преобразование.......................... 71 1.12.5 Преобразование г = 4 ................................. 71 1.13 Кепстр (cepstrum) сигнала.................................... 73 1.13.1 Разделение спектров при фильтрации .................................................. 74 1.13.2 Обнаружение э х а ........................................ 76 1.13.3 Сжатое представление сп ек т р а ............. 76 1.14 Вейвлет- (wavelet-) преобразование ........................................................ 77 1.14.1 Непрерывное вейвлетпреобразование ........................................... 77 1.14.2 Дискретное вейвлет-преобразование . . 79 1.14.3 Multiresolution.............................................. 82 1.15 Преобразование Адамара........................................ 82 2 ЦИФРОВЫЕ ВОДЯНЫ Е ЗНАКИ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ 86 2.1 Цифровые водяные знаки. Определение и классификация .......................... 86 2.2 ЦВЗ на основе наименее значащих б и т о в ........................................................ 88 2.3 Линейные последовательностные машины и их применение.................................................................. 90 2.3.1 Определение линейной последовательностной машины ............. 90 2.3.2 Преобразование бинарной последовательности с помощью ЛПМ . 91
2.3.3 Изменение адресации с помощью ЛПМ ....................................... 92 2.4 Создание водяных знаков с помощью процедуры «расширение спектра» ........................................... 96 2.4.1 Основная п р оц ед ур а ................................. 96 2.4.2 Шифрование ЦВЗ с помощью ЛПМ . . 97 2.4.3 Модуляция ЦВЗ псевдослучайной последовательностью................................. 100 2.5 Создание водяных знаков на основе анатиза контейнера.................................... 103 2.5.1 Выбор водяного знака с точкизрения теории фильтрации.................................... 103 2.5.2 Конструирование ЦВЗ на основе фильтра .................................... 106 2.5.3 Метод главных компонент....................... 109 2.6 Создание водяных знаков с помощью модуляции мощности фрагментов . 113 2.7 Создание водяных знаков с помощью э х а ........................................................... 117 2.7.1 Алгоритм внедрения ................................. 118 2.7.2 Извлечение Ц В З ........................................... 120 3 ЦИФРОВЫЕ ВОДЯНЫ Е ЗНАКИ И ПРЕОБРА ЗОВАНИЯ 124 3.1 Помещение водяного знака в коэффициенты Фурье ....................................... 124 3.1.1 Внесение ЦВЗ в модули коэффициентов Д П Ф ................................. 125 3.1.2 Кодирование ЦВЗ с помощью фазы сигнала .................................................................. 129 3.2 Внедрение ЦВЗ в модули коэффициентов преобразования Хартли и косинуспреобразования ........................................................ 132
3.2.1 Внедрение ЦВЗ в модули коэффиI[центов 11 реобразоваііия Х а р т л и ........................................................... 132 3.2.2 Внедрение ЦВЗ в модули коэффициентов косинус- преобразования ........................................... 134 3.3 Кодирование ЦВЗ с помощью фазы сигнала ........................................................... 134 3.3.1 Фазовый сдвиг сигнала в результате фильтрации ........................................................... 135 3.3.2 Симметричный фильтр и фазовый сдвиг........................................... 136 3.3.3 AU-pass-ф и л ь т р ........................................... 138 3.3.4 Создание ЦВЗ с помощью фазового сдви га ........................................... 139 3.4 IIR-фильтры и водяные знаки .......................... 144 3.4.1 Схема внедрения ЦВЗ с использованием IIR-ф и л ь т р а ............. 145 3.4.2 Сравнение результатов фильтрации ЦВЗ с помощью FIR- и IIR-фильтров . 147 3.4.3 Длительность периода установления IIR-ф ильтра ................................................. 151 3.5 Внедрение водяных знаков с помощью вейвлетпреобразования ........................................................ 153 3.5.1 Внедрение и извлечение ЦВЗ на основе Д В П .................................................................. 154 3.6 Линейное предсказание и автоматическое обнаружение копий ф а й л а .............................................................. 155 3.6.1 Параметры линейного предсказания . . 156 3.6.2 Применение линейного предсказания для получения сглаженного спектра си гнала ........................................................... 158 3.6.3 Обнаружение схожих музыкальных произведений................................................. 159
4 П РИЛОЖ ЕНИЕ 1СЗ 4.1 Основные сведения из линейной алгебры . . . 163 4.1.1 Операции над матрицами ................. 163 4.1.2 Линейное пространство........................ 163 4.1.3 Линейная зависимость и базис линейного пространства..................... 164 4.1.4 Скалярное произведение векторов . . . 165 4.1.5 Ортонормированный базис и ортогональные матрицы ................. 166 4.1.6 Скатярное произведение как мера близости двух векторов........................ 167 4.1.7 Собственные векторы и собственные значения матрицы ........................................... 168 4.1.8 Матрицы и квадратичные формы . . . 169 4.1.9 Экстремальные значения вещественной квадратичной формы ........................... 170 4.1.10 Формула Эйлера..................................... 170 ЛИТЕРАТУРА .............................................................. 170
Глава 1 ЦИФ РО ВАЯ О БРАБОТКА СИГНАЛОВ . ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 1.1. Введение Особенность продуктов, созданных с помощью информационных технологий, состоит в легкости копирования. В этой связи в последнее время возникла целая индустрия, направленная на создание препятствий для таких действий. Эта индустрия получила название «Информационная или компьютерная безопасность». Методы, используемые в компьютерной безопасности, можно условно разделить на три класса: препятствие доступу к информации, препятствие копированию информации, защита авторских прав на информацию. Препятствие к доступу основано на различных парольных системах, встраиваемых в источники информации, на шифровании информации и включает защиту каналов передачи информации. Препятствие копированию применяется в тех случаях, когда автор хочет ознакомить читателя или слушателя со своим произведением, но не допускает прямое копирование. Примером может служить технология защиты компакт-дисков от дублирования, возможность просмотреть лишь отдельные страницы книги, представленной на сайте, и другие. Указанные меры применяются в тех случаях, когда защищаемое произведение имеет несомненную коммерческую ценность, а авторство не вызывает сомнений. Особая ситуация возникла в настоящее время в связи в доступом в Интернет. У авторов различных произведений появи
лась простая возможность заявить о себе, выставив результат труда в свободный доступ. Однако вместе с этой возможностью возникла и проблема, как доказать авторство того или иного произведения искусства. Э го относится прежде всего к видео- и аудиофайлам. Проблема решается путем внедрения в выставленные файлы специальной информации, цифровых водяных знаков (ЦВЗ, или watermarks). Внедренная информация не должна мешать восприятию данного произведения, в то же время владелец файла обладает средствами, позволяющими сделать внедренную информацию явной. Процедура доказательства выглядит следующим образом. Владелец предъявляет чистую копию, внедряет в нее свой водяной знак и показывает механизм его обнаружения. После этого он берег файл, принадлежность которого оспаривается, применяет к нему ту же самую операцию обнаружения и находит свой водяной знак. Поскольку вся эта технология хорошо известна, возникает старинное соревнование «щита и копья». Злоумышленник, копируя чужой файл, старается его изменить таким образом, чтобы его потребительские качества не нарушились, но при этом удалить возможный водяной знак. Эта операция известна под названием «атака на водяной знак». Методы внедрения в исходный файл (носитель, или контейнер) посторонней информации известны с давних времен под названием «стеганография». Когда-то они имели широкое применение при похищении ценных данных и их секретной передаче. В настоящее время, при наличии различных каналов связи, систем шифрования и достижений в миниатюризации памяти, по мнению автора, эта задача стала менее актуальной, за исключением каких-то особых ситуаций. С другой стороны, методы, помогающие подтвердить авторство файла, становятся все более востребованными. Иногда автор принимает простое решение — в файл добавляется воспринимаемый посторонний сигнал. Пользователь может оценить произведение, но его воспроизведение его не удовлетворяет. По договоренности с пользователем автор открывает доступ к чистому файлу за некоторое вознаграждение либо предоставляет специальную программу и ключ к
ней. позволяющие получить чистый файл. В данном пособии рассматривается частный случай проблемы, когда объектом авторского права является аудиофайл. Представленное учебное пособие посвящено рассмотрению технологий, связанных с созданием водяных знаков для внедрения их в аудиофайлы и последующему извлечению из файла. Основной этих технологий является «Теория цифровой обработки сигналов» (ЦОС). В настоящее время имеется большое число учебников, посвященных этой теории, но внедрению ЦВЗ в этих пособиях уделяется мало внимания. С другой стороны, сейчас появились книги, посвященные проблемам стеганографии ([1, 2. 3. 4|), в которых затрагивается данная проблема. Более того, книга [5| посвящена исключительно работе с аудиофайлами. Однако все они предполагают знакомство читателя с ЦОС. Предлагаемое пособие предназначено ликвидировать этот пробел. Здесь излагаются лишь необходимые сведения из ЦОС. Предполагается, что читатель хорошо владеет методами линейной алгебры, изучение которой происходит на первых курсах математических и технических факультетов. Хотя многие факты из теории ЦОС основаны на функциональном анализе, при практическом применении теории, как правило, не приходится выходить за пределы линейной алгебры. С другой стороны, доказательства некоторых утверждений основаны на теоремах из математического анализа. Поскольку книга имеет практическую направленность, все параграфы, требующие знаний, выходящих за пределы линейной алгебры, отмечены значком *, и они могут быть опущены при первом чтении. В то же время знакомство с основными результатами этих параграфов весьма желательно. Пособие состоит из трех глав и приложения. Первая глава является введением в теорию ЦОС. Вместе с формулировками теорем приводятся и их доказательства, поэтому при первом чтении у студента нет необходимости обращаться к дополнительным источникам. Вторая и третья главы посвящены основной проблеме — работе с ЦВЗ в аудиофайлах. Материал этих глав разделен, весьма условно, но способу
внедрения ЦВЗ. Во второй главе рассматривается внедрение во временную область, а в третьей —в частотную. Хотя предполагается, что студент владеет матричным анализом, в пособие включено Приложение, содержащее необходимые сведения из линейной алгебры (без доказательств) и используемые обозначения, встречающиеся без комментариев в основном тексте. К этому Приложению можно обращаться по мере необходимости. Излагаемая технология не сводится к математическим доказательствам формул и носит эмпирический характер. В работоспособности конкретных методов можно убедиться только после попытки их реализовать. Текст сопровождается небольшими фрагментами кода на языке Python. Приведенные скрипты не являются законченными программами, а демонстрируют основные особенности алгоритмов. Они включены для того, чтобы студент мог сам убедиться в справедливости утверждений, касающихся того или иного метода внедрения ЦВЗ. Язык Python завоевывает все большую популярность, и знакомство с ним читателя всегда окажется полезным. Фрагменты содержат функции из модулей numpy, scipy, matplotlib и некоторых других. Эти модули разрабатываются сообществом Open Source, и в Интернете имеется обширная документация по их применению. При проверке работоспособности программ автор использовал версии Python 2.7.Х, но они должны работать и на версиях Python З.Х. (после очевидных изменений), совместимых с упомянутыми модулями. Автор настоятельно рекомендует студентам дополнить эти фрагменты до работающих программ и провести эксперименты. Предлагаемое пособие не является монографией, поэтому основной текст не содержит никаких ссылок. Материал первой главы основан на книгах |6, 7, 8]. Теория преобразования Адамара представлена в [9], теория ЛПМ — в (10], а способ изложения косинус-преобразования заимствован из [11]. Вторая и третья главы есть переработанное изложение материала статьи [12], которое дополнено программным кодом. Желающие более глубоко ознакомиться с предметом должны перейти к изучению монографий [1, 2, 3, 4].
1.2. Звуковой сигнал и его оцифровка 1 .2 .1 . Стробирование сигнала Звуковой сигнал воспринимается человеком в результате изменения давления воздуха, поступающего в ухо. Типичная картина представлена на рис.1.1. Это аналоговый сигнал, то Рис. 1.1. Звуковой сигнал и стробирование есть он определен в любой момент времени и может принять любое значение из некоторого интервала. Для того чтобы поместить этот сигнал в компьютер, необходимо перейти от непрерывного времени к дискретному. Для этого производится стробирование сигнала. Эта операция осуществляется специальной схемой —аналого-цифровым преобразователем (АЦП). Время наблюдения сигнала разбивается на интервалы постоянной длины (на рис.1.1 это показано линиями в виде точек). Исходный сигнал заменяется массивом Агг[к], где к —номер интервала, а значение Агг[к] равно усредненному значению исходного сигнала, попавшего внутрь прямоуголь
ника с номером к. На этом этапе значения Агг[к} могут быть любыми числами из некоторого интервала. 1.2.2. Ш ум от оцифровки сигнала и его оценка Процедура оцифровки на этом не завершается. Внутри компьютера вещественные числа хранятся с определенной точностью. Дня звука принято хранить значения сигнала в виде целых чисел с заданным количеством В битов. Ради простоты предположим, что все значения Агг[п] являются неотрицательными числами. Пусть существует такое число М, что выполнены неравенства: 0 < Агг[п] < 2М для всех тг. Интервал [0.2М] разбивается на 2В частей, после этого каждое значение Агг[п] заменяется ближайшей границей интервала, в который попало это значение. В результате последовательность Агг[п} заменяется новой последовательностью у[п], но теперь каждый член новой последовательности принимает значения из интервала [0,2М] с шагом d = 2М/ 2В. Каждое такое значение можно закодировать целым числом из интервала [0,2В—1], сопоставив значению у[п\ номер позиции этой точки в интервале [0,2М] (мы исключаем возможность за- менты значения Агг[п\ на 2М) . На каждом из упомянутых шагов (переход от непрерывного времени к дискретному и переход к дискретным значениям отсчета) происходит огрубление сигнала. Первая задача цифровой обработки заключается в оценке искажения исходного сигнала в результате оцифровки, а также в выборе способа, с помощью которого оценивается это искажение. Последующая обработка состоит в извлечении из полученного сигнала нужной информации. Для этого могут понадобиться дальнейшие преобразования, например подавление шумов. Преобразования цифровых сигналов принято называть цифровой фильтрацией. Для оценки результатов фильтрации часто используется аппарат теории вероятностей и математической статистики. В качестве примера рассмотрим оценку влияния на качество сигнала перехода от непрерывных зна
чений сигнала к дискретным дискретным. В результате преобразований получаем Агг[тг] = у[п] + + е[п], где е[п] ошибка оцифровки. Для оценки влияния данной процедуры на качество сигнала примем простейшую модель, согласно которой исходный сигнал является случайным с дисперсией а 2. а е[п\ имеет равномерное распределение на интервале [ - d / 2 , d/2]. Найдем дисперсию а 2. Плотность равномерного распределения —что константа, вычисляемая согласно формуле d/2 с f dt = 1. d/2 =*• С : 1 d Теперь d/2 j t2dt = d2/ 12. -d/2 Для оценки влияния шума на сигнал принято использовать отношение сигнал шум, величину SNR (signal noise ratio). SNR = 101og10 - /Т§^ измеренную в децибелах. Полагая М — 4ах (согласно неравенству Чебышева, вероятность превысить эту границу мала). получим SNR = 20В log10(2) + 10 log10(3/16) » 6В - 7.2. В результате экспериментов было показано, что величина SNR = 90db обеспечивает высокое качество звука, поэтому значение В = 16 используется в большинстве бытовых звуковых карт. Заметим, что приведенное выражение для отношения сигнал-шум не является единственно возможным. Иногда вместо среднеквадратических отклонений используют максимальные значения сигнала и шума.
Следует пояснить, почему при оценке параметров звука используются децибелы, предполагающие некоторое отношение. В результате экспериментов была найдена минимальная мощность /о звукового сигнала, который может быть услышан человеком. На самом деле эта величина зависит не только от человека, но и от частоты этого звука, но принято использовать некую усредненную величину. Когда говорится. что звук мощностью Р более 100 децибел может нанести вред человеку, имеется в виду, что lOlogio тг > 10°- Ро 1.2.3. Формат wav Для того чтобы программы могли работать со звуком, необходим формат хранения всех элементов у[п]. Простейшим из таких форматов является формат wav, который ближе всего к оригинальному сигналу. Заголовок файла содержит частоту стробирования, число битов, отведенных на один отсчет (сэмпл), количество каналов и некоторую другую информацию, после чего идут сами отсчеты. Эти отсчеты могут быть как целыми числами со знаком (наиболее распространенный способ записи), так и целыми положительными числами. Как правило, программы обработки звука работают именно с этим форматом, преобразуя отсчеты в числа в плавающем формате. В формате wav сигнал занимает много места, и для его передачи или хранения применяют сжатие. Прямое сжатие обычным архиватором без потери информации оказывается малоэффективным. Более интересным является сжатие с потерей информации, учитывающее особенность исходного сигнала. Здесь важно установить критерии допустимой потери информации. В зависимости от выбранного критерия выбирается способ сжатия. Простейшими способами сжатия является уменьшение числа битов на сэмпл и уменьшение частоты стробирования. Уменьшение числа битов сопровождается специальным масштабированием сигнала с тем, чтобы сохранить наиболее важную часть инфор
мации. В последнее время были предложены другие способы сжатия, основанные на линейном предсказании и на разложении сигнала по специальному базису. Об этих методах будет сказано более подробно п соответствующих частях пособия. В настоящее время не существует объективного критерия качества восстановленного сигнала после сжатия. Приведенная выше оценка SNR удобна при автоматической обработке, но не всегда согласуется с оценкой человека. Известны и другие формальные критерии, но все они уступают человеческой оценке. В этой связи, если требуется серьезная оценка качества восстановления звука после сжатия, используют людей, собранных в аудитории. Они оценивают качество согласно специальной анкете, после чего выставляется средняя оценка. Важнейшей характеристикой исходного сигнала является его преобразование Фурье, или спектр. Если исходный сигнал задан функцией! / ( f ) , определенной на всей вещественной оси, то его преобразование Фурье задается формулой Интеграл рассматривается как скалярное произведение в пространстве / ,2, поэтому функция F(w) трактуется как координата функции / ( f ) в непрерывном базисе, состоящем из функций вида ехр(27гjwt ) - (см. Приложение). Содержательно |F(w)| это интенсивность исходного сигнала на частоте w. Формула (1.1) имеет смысл лишь при определенных ограничениях на функцию /(f)- Однако в любом случае при обычном понимании интегрирования необходимым условием является убывание этой функций на бесконечности. В реаль1.3. Преобразование Фурье от функции оо ( 1- 1) —оо
пых условиях имеют дело с сигналом, похожим на периодический сигнал, и это ограничение не имеет места, поэтому предварительно нужно ознакомиться со специальным математическим аппаратом, позволяющим в некоторых случаях обойти указанное препятствие. Следует отметить, что дальнейшее изложение отличается от строгих математических доказательств. Мы поступаем так. как это принято в теории сигналов (меняем порядок интегрирования без дополнительного обоснования, производим дифференцирование под знаком несобственного интеграла и т. и.). В силу сказанного, размываются условия, при которых приводимые ниже формулы остаются справедливыми. Всегда будем предполагать, что функции, с которыми мы имеем дело, обладают нужными свойствами, и приводимые формулы справедливы. Для иллюстрации сказанного найдем преобразование Фурье от функции равной тождественно 1. Очевидно, что в этом случае интеграл (1.1) не существует. Однако создан математический аппарат, с помощью которого этому интегралу можно придать смысл. Один из выходов заключается в определении преобразования Фурье в виде 1 lim J e xp ( - 2 -K j w t ) f ( t ) d t ,T^o o , но тогда этот интеграл становится нулевым для абсолютно интегрируемой функции /(£). Другое решение заключается в переходе от функций к функционалам. 1 .3.1. Обобщенные функции * Этот пункт предполагает знакомство с методами функцио- ного анализа (см. [6]). Обозначим через К множество бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем, то есть для любой функции ф € К существует свое замкнутое ограниченное множество, которому принадлежат все точки, в которых функция ф отлична от нуля. Примером
ф{х) = ехр ( — - ------— ) , х 6 [а, 6], и ф(х) — 0 в остальных точках. По определению последовательность фп(х) £ К стремится к функции ф(х) £ К, если все эти функции имеют общий компактный носитель и в каждой точке имеет место обычная сходимость. Непрерывный функционал - это линейное отображение / : К —>С ( С множество комплексных чисел), причем из фп{х) —» ф(х) следует / ( фп) —э / (ф) . Если и(х) — интегрируемая функция, то ей соответствует функционал и(ф) = f ф(х)и(:v)dx. Однако существуют функционалы, не представимые в указанной форме. Например, А(ф) = у)(0) является непрерывным функционалом. Он записывается в форме ф(0) = f ф(х)д(х)Фх и называется 5-функцией. Хотя этот функционал нельзя представить с помощью обычной функции, можно ввести Фобразную последовательность. Положим 5п(х) = п/ 2 при —1 / п < х < 1 / п и 0 в остальных точках. Интеграл от <5п(х) равен 1. При больших п функция ф{х) £ К представима в виде ф{х) = ф(0) +хф ' (0) + 0 ( п -2 ) при —1/п < х < 1 / п . поэтому 1 / п I ф(х)5п(х)с1х = ф(0) + 0 ( п ~ 2) - 1 / п (второе слагаемое исчезает в силу симметричности). Это означает, что функционал 6(х) можно представить в виде предела обычных функционалов. Упражнение 1. Дайте строгое доказательство утверждения о том, что функция Ф(х) = ехр(— ------— ) , х € [а, Ъ\, х —о х —а и ф(х) = 0 в остальных точках принадлежит пространству К.
2. Что получится, если преобразование г -т применить к f ( t ) = 1. 3. Дайте строгое доказательство того факта, что абсолютно интегрируемой функции и(х) отвечает непрерывный функционал, определенный формулой 1.4. Преобразование Фурье и обобщенные функции Нашей ближайшей целью будет установление свойств преобразования Фурье. Прежде всего, будет доказано, что преобразование Фурье от единичной функции есть дельта-функция При первом чтении доказательство этого утверждения можно опустить, но само утверждение будет существенно использоваться в дальнейшем тексте. 1 .4.1. Преобразование Фурье от единицы * Очевидно, что такое преобразование не существует в обычном смысле, выход заключается в переходе к обобщенным функциям. Понадобятся несколько вспомогательных утверждений. ОС — ОС
П редлож ение 1. Пусть ip(x),%l>'(x) интегрирушые функции. Тогда ь J 'ф(х) cos (nx)dx —¥ 0, п 4 о о . а Доказательство проводится интегрированием по частям. Имеем ь J ф{х) cos(nx)dx = —sin (пх)ф(х) |д ~ ~ J s^ ( nx)^' ix )dx. а Оба слагаемых стремятся к 0, если п -* оо. Аналогичное утверждение справедливо и для интеграла, содержащего sin(пх). У доказанного предложения имеется простой содержательный смысл. Если п велико, то функция h(x) = cos (пх) быстро осциллирует и умножается на функцию, которая меняется медленно. В результате интегрирования близкие значения ф(х) умножаются на значения функции h(x) с разными знаками, что при суммировании дает близкую к 0 величину. Из курса анализа известна формула /sin(x) X dx = 7г/ 2 . Отсюда следует, что [ sin(Nx) , J — i x =1/2 при любом положительном N. Однако /sin (Nx)dx = х [ sin (Nx) , f sin (Nx) , /—--dLx+ /—---dx,a> 0. J x J x 0 a
Как было указано выше, второе слагаемое стремится к 0 при больших N, поэтому /sin(Arx) , — ----- ' dx -э тг/2, о 7V—>ос. Положим (1.3) N FN(w) = J -N exp(—2Trjwt)dt. Не существует обычного предела у этой функции при N -> ос. Построим функционал ф(и>) sin(27twN ) ■nw dw, где интервал [а, Ь] содержит носитель функции ф(ю), а его предельное значение будем считать значением функционала (преобразования Фурье от единицы) на функции ф(и)). Если Оне попадает в интервал интегрирования, подынтегральная функция не имеет особенностей, и весь интеграл стремится к 0. В противном случае интеграл стремится к / [0(0) + юф\ 0) + w20 ( c 2)] Sm^27rt^—■dw, J TTW где с произвольное малое положительное число. Второе слагаемое исчезает в силу нечетности подинтегральной функции. третье слагаемое стремится к 0 с ростом N, поскольку функция не имеет особенностей, и при с —►0, N —> оо получаем, используя (1.3), что весь интеграл стремится к 0(0). Другими словами, справедлива формула (1.2), которая теперь получает строгий математический смысл.
atu.kzRkJQdWJsaXNoZXIy MTExODQxMg==