Спирина, М.С. Дискретная математика

Так, множество точек прямой не­ счетно и имеет мощность континуума. ? Может ли часть быть эквивалентной целому? Сравним мощности множества Z — целых и множества Q —рациональных чисел. Так как оба они счетные, то име­ ют одинаковую мощность. Но Z с Q, и получается, что часть (Z) эквивалентна целому (Q)! Этот удивительный парадоксальный вывод привел в замеша­ тельство математиков на рубеже XIX и XX вв. И это не единствен­ ный парадокс теории множеств. ? Может ли отрезок быть эквивалентным своей половине? Еще древнегреческий мыслитель Зенон обратил внимание на удиви­ тельный факт, который следует из сравнения длин средней линии треу­ гольника и той стороны, которой эта средняя линия параллельна (рис. 1.11). Он провел лучи из вершины В на сторону АС и каждой точке у отрез­ ка АС поставил в соответствие точку х на средней линии. Видно, что лучи Зенона задают отображение отрезка АС в среднюю линию, причем не­ трудно доказать его биективность. Следовательно, одной точке у соответ­ ствует единственная точка х, и наоборот. Значит, отрезки эквивалентны и мощности множества точек, на них расположенных, равны. Но из гео­ метрии известно, что средняя линия А С =АС / 2. Получается, что отре­ зок «равен» своей половине! Аналитически такое отображение выглядит еще проще: у = 2х или х = у / 2. Заметим, что нельзя путать обозначение | |, символизирующее длину (модуль) в алгебре, с таким же знаком, употребляемым для обозначения мощности множества. Еще более удивительный вывод получается при сравнении количе­ ства всех точек отрезка и квадрата. Георг Кантор (1845 —1918) доказал, что множества точек отрезка и квадрата равномощны. Можно занумеро­ вать даже точки плоскости, имеющие целочисленные координаты. Вос­ пользуемся для этого методом решетки: паре натуральных чисел будем ставить в соответствие номер так, как показано в табл. 1.4. При такой нумерации уголком ни одна клетка не останется без номера. Таким обра­ зом доказана счетность этого множества. Т а б л и ц а 1.4 Метод решетки для нумерации точек плоскости 1 2 3 4 1 / (1 ,1 ) = 1 /(1 ,2 ) = 2 / (1 ,3 ) = 4 / (1 ,4 ) = 7 2 / (2 ,1 ) = 3 /(2 ,2 ) = 5 3 / (3 , 1) = 6 ... Рис. 1.11. Биекция между средней линией и осно ­ ванием треугольника 32