Спирина, М.С. Дискретная математика

значает произведение значений каждой из функций в каждой кон ­ кретной точке (х = xq ). Для сравнения найдем s(x) = (cosx) •(In х) при X q = 1 : s ( l ) = (cos 1 ) • (In 1 ) = 0 , т.е. это значение не совпадает с уже найденными значениями / ( 1 ) и И(\). Сложные функции представляют собой композицию несколь­ ких простых функций. Но всякая сложная функция , заданная через более простые, разлагается в произведение отображений, т.е. может быть выражена аналитически. Для любых отображений/ g, И справедливо групповое свойство бинарной операции компози­ ции: / о (g о Л) = ( / ° g) ° h, называемое сочетательным законом, т. е. для любого х из области определения выполняется f(g(h(x))) = =(f° g)(Mx))- Это равенство справедливо для тех элементов из D(h), для которых f(g(h(x))) = ( f о g)h(x) имеет смысл, т.е. определены Л(х), g(h(x)), f(g(h(x))) и h(x) е D ( f ° g). 2. Пусть А — это множество людей. Обозначим через f отобра­ жение множества А в А, при котором каждому человеку ставится в соответствие его мать, а через / 2 — его отец. Тогда суперпозиции отображений / и / каждому человеку ставят в соответствие: g\ - f i ° f \ — дед по материнской линии (отец матери); g i = f 0h — бабушка по отцовской линии (мать отца); S i = f \ ° f \ ~ бабушка по материнской линии (мать матери); £4 =h ° h — ДеД по отцовской линии (отец отца). ? Какими отображениями — инъективными, сюръективными или биек­ тивными — являются отображения fv f, и g,— g4? Отображение е\ А -> А называется тождественным (единичным), если каждому аргументу оно ставит в соответствие себя. Очевид­ но, такое отображение можно задать на любом непустом множе­ стве. Если е(х) - х, то Е(е) = D(e) = А. Очевидно, что отображе­ ние, обратное единичному, также единичное. Рассмотрим произ­ вольную функцию / : А -> С. Поскольку и на А, и на С можно ввести тождественное отображение, то, беря композицию о то ­ бражений е и f получим два отображения / = е ° f и f 2 = f ° е. Докажем, что, хотя в первом случае е определено на С, а во вто­ ром — на А, отображения^ и / , равны. Как говорилось, равенство функций определяется действием их на всех элементах. Проверим: Vx е A f ( x ) = e( f(x)) =Дх); и / 2 =/(<?(*)) = / ( х ) . Поэтому функ ­ ции равны. Полученное равенство позволяет сделать вывод, что для такой композиции любой функции с тождественной справед­ лив переместительный закон: / ° е = е ° / Единичное отображение, естественно, получается как компози­ ция произвольной функции/ : А -> В и ей обратной: е =f~] ° / Д ей ­ ствительно, Ух е А Г \ Л х ) ) - х - е(х). Но это справедливо, толь ­ ко если обратное отображение является однозначным. Например, при f (x ) - ех, х е К, / “'(*) = 1п(е*). В противном случае, если Зх, 27