Спирина, М.С. Дискретная математика

Рис. 1.9. Схема, иллюстрирующая композицию двух инъекций вые функции / (х), g(x ): К -> R. Суперпозицией g ° / функций / (х) и g(x) будет новая функция h(x), для которой: • область определения И(х) состоит из чисел х0, для которых /(хь) принадлежит области определения g(x): D(h(x)) = {xJ/(x0) е е D(g(x))}- • значение функции Л(х) V xq е D(h(x)) связано со значениями Дх) и g(x) равенством А(хь) = g(/(Xo)). Таким образом, только множество D(g(x)) П E( f (x ) ) будет да­ лее отображаться посредством функции g, т.е. будет полным про­ образом g~\E{h)). Рассмотрим примеры композиций. 1. Пусть / (х ) = cosx, g(x) = lnx, тогда h(x) = g » f Разберем подробнее. Каждому х соответствует значение х -э / (х ) = cosx. Далее, каждому числу у соответствует у -» g(y) = Inу. Но у = cosx, поэтому, подставляя значение у через х, получаем g(y) = In у = = ln(cosx) = g ( /(x ) ) = h(x). Итак, A(x): x - э ln(cosx). Найдем об­ ласть определения и значения этой функции: D( f) = R, E ( f ) = = [-1, 1], D(g) = (0, +°о), E(g) = R. Полным прообразом g будет G - E( f )r \D(g) - [-1, 1] П (0, +°°) = (0, 1]. Полным образом тогда будет (так как In — монотонная функция) Я = g(G) = ( -» , 0]. Областью определения будет полный прообраз множества G — множество I - f ~ \G ) - {х 0 < co sx < 1} = ( - к / 2 + 2ля; л/2 + 2пп], п € Z. Для сравнения напишем в явном виде отображение t{x) = f ° g . Аналогично предыдущим рассуждениям получим t(x): х -> cos (In х). Для того чтобы доказать нетождественность двух отображений, до­ статочно указать такое х, что t(x) * h(x). Например, ?(1) = cos (In 1) = = cos 0 = 1 . Однако h{ 1) = In (cos 1) = -0,62. Поэтому суперпозиция двух функций зависит от порядка запи­ си, т.е. не подчиняется переместительному закону. Следует сразу указать распространенную ошибку: запись вида s(x) =/ (х ) •g(x), где знак «■» —умножение в R (например, (cosx) х х (In х)), не является композицией или суперпозицией этих функ­ ций. Дело в том, что произведение функций определено на мно­ жестве функций, а выражение Дх) •g(x), знакомое со школы, обо­ 26