Спирина, М.С. Дискретная математика

Рис. 1.7. Иллюстрация биекции: а — прямое отображение А в В; б — обратное отображение В в А ния) являются чаще всего примерами взаимно-однозначного со ­ ответствия между множествами. Композиция функций. Пусть заданы отображения f : А - а В и / 2: В -> С. Отображение / : А -> С, при котором каждому элемен­ ту х € А соответствует определенный элемент z e C , такой, что z = А(у), где у = /,(х ) , называется произведением, композицией, или суперпозицией отображений f и / 2. Также часто употребляют синоним «сложная функция». Обозначается композиция двух ото­ бражений / , и / 2 как / = / 2 о/[ , причем именно в таком порядке, поскольку по определению должно быть z = / (х ) = ( / 2 о / ,)(х ) = = / 2 (/i(x)), т.е. сначала производится первое отображение (стоит справа и действует на аргумент х), затем второе (слева). Пусть h - g о f Рассмотрим сначала значение функции И(х) при х = х0: Дхо) = уо, / определена в точке х 0 и отображает ее в точку у0; z0 = g(y0) = g ( f (x0)), g определена в точке у0 и отображает ее в точку z0. Таким образом, функция И «транзитом» через точку у 0 отобра­ жает точку х 0 в точку z0: h(x0) = g(y0) = j?(/(x0)). С помощью терминов и символов соответствий между м н о ­ жествами такую зависимость можно изобразить в виде схемы (рис. 1 . 8 ). Теперь рассмотрим всю совокупность точек из области опреде­ ления первой функции / Здесь все приведенные формулы должны выполняться в каждой точке. На рис. 1.9 с помощью кругов Эйле­ ра показано произведение двух отображений / , и f 2, каждое из которых является инъекцией. Пунктирными линиями изображе­ на связь образов и прообразов. Область определения функции f \ ^ ( / i ) = А область значений функции у g A E(fx) - Н с В, область определения функ- *о-------- ►л-------- *^o ции A D(f2) = В, область значений функ- 4 ------------------ ции / 2 E( f2) - G cz С, область значений функ- h ц и и / 2 o f E ( f2 o f ) - f оf {A ) = F c G. рис. i , 8 . Схема cynep- Рассмотрим суперпозицию числовых позиции функции A= функций. Пусть даны произвольные число- =g ° f в точке ла 25