Спирина, М.С. Дискретная математика

ствие какому-то свойству, то можно сделать достоверный вывод об обладании этим свойством всеми элементами множества (пол­ ная индукция). Например, проверим, обладает ли множество всех правильных выпуклых многогранников свойством, выражающимся в формуле Эйлера: В + Г - Р = 2, где В — число вершин многогранника; Г — число его граней; Р — число ребер (см. подразд. 2.1). Из геометрии известно, что правильных многогранников в R3 всего пять: с тре­ угольными гранями — тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, с четырех­ угольными гранями — куб, с пятиугольными — додекаэдр. А. Проверить гипотезу о том, что формула Эйлера В + Г - Р = 2 справедлива для правильных многогранников, можно с помощью табл. 5.8. Итак, метод проверки всех элементов множества на соответ­ ствие некоторому признаку называется полной индукцией (под­ робнее см. подразд. 5.6) и дает достоверный вывод. Действитель­ но, для всех возможных правильных многогранников справедлива формула Эйлера: В + Г - Р = 2. Б. Проверим справедливость этой формулы и для других выпу­ клых многогранников: например, для трехгранной призмы В = 6, Г = 5, Р = 9 формула справедлива. Так же можно проверить все призмы и пирамиды. ? В чем разница между выводами, сделанными в случаях А и Б? Дают ли одинаковые результаты таблиц основания для того, чтобы в случае Б по аналогии со случаем А сделать достоверный вывод? Между случаями А и Б есть существенное различие. В случае А мы рассмотрели все возможные правильные выпуклые многогран­ ники и сделали вывод на основании полной индукции. А в случае Б все возможности неисчерпаемы и вывод не может носить досто­ верный характер. Т а б л и ц а 5.8 Соотношения между числом элементов в правильных многогранниках Много- гранник Количество Свойство В + Г - Р = 2 В —вершин Р — ребер Г — граней Тетраэдр 4 6 4 4 + 4 - 6 = 2 Октаэдр 6 12 8 6 + 8 - 1 2 = 2 Куб 8 12 6 8 + 6 - 1 2 = 2 Додекаэдр 20 30 12 20 + 12 - 30 = 2 Икосаэдр 12 30 20 12 + 20 - 30 = 2 261