Спирина, М.С. Дискретная математика

воздушный), воды — форму икосаэдра (самый текучий), и объединял все — додекаэдр. Очевидно, такая аналогия оказалась ложной. Поэтому в естественных, экспериментальных, описательных науках наиболее успешно используются выводы индуктивного характера. Если утверждения, доказанные с применением дедук­ тивного метода носят достоверный характер, то индуктивные вы­ воды вероятностны по своей природе. В математике также применяются индуктивные выводы. С их помощью, например, формулируются аксиомы как очевидные ут­ верждения. Французский математик XVII в. Пьер Ферма, рассматривая и сравни­ вая числа вида а п = 2т + 1, пришел к выводу, что для любых натураль­ ных л числа этого вида а п — простые. Действительно, для первых четырех значений п в результате получаются простые числа: 22' + 1 = 5; 222 + 1 = = 17; 22 + 1 = 257; 22< + 1 = 6537. Однако вывод, полученный индуктивно на основании результатов первых четырех значений л, оказался лож­ ным, так как Леонард Эйлер доказал, что число 225 + 1 делится на 641. В теории чисел часто встречаются задачи на определение коли­ чества делителей некоторого числа, заданного формулой. Например, найдем делители числа к, заданного формулой к = = я2 + п + 41. Подставляя вместо л натуральные числа (л е N), имеем: л = 1, к\ = I2 + 1 + 41 = 43—простоечисло; л = 2, к2 = 22 + 2 + 41 = 47—простоечисло; л = 3, &з = З2 + 3 + 41 = 53—простоечисло; л = 4, к4 = 42 + 4 + 41 = 61—простоечисло и т.д. Возникает гипотеза: для любых натуральных л число к = п2+п + + 41 имеет два делителя 1 и к, т.е. число к является простым. Справедливость этой гипотезы можно проверить двумя спосо­ бами: подставляя все натуральные значения л, убедиться в ее спра­ ведливости или опровергнуть ее, найдя хотя бы одно значение л, при котором она не выполняется. Очевидно, что подставить в вы­ ражение все натуральные л невозможно, так как множество N бесконечно. А вот найти такое значение л е N, при котором число к будет составным, несложно. При л = 41 имеем к = 412+ 41 + 41 = = 41(41 + 2) = 41 ■43 , т.е. число к имеет три множителя — 41, 43, 1 и не является простым. А индуктивный вывод на основании пер­ вых сорока значений к оказался ложным. ? Так, может, вывод, полученный путем индуктивных рассуждений, во­ обще не бывает достоверным? Дело в том, что в предыдущих рассуждениях вывод делался на основании неполной индукции, поскольку вместо л подставляли отдельные значения л е N. Если в процессе анализа условия задачи удается проверить все объекты изучаемого множества на соответ­ 260