Спирина, М.С. Дискретная математика

А хх Е § С У О Рис. 5.7. Логический квадрат Противоположность «Есть» — связка положительного суждения, «не есть» — связка отри­ цательного суждения. Удобнее всего эту классификацию изображать в виде логического квад­ рата (рис. 5.7). Тогда отношения меж­ ду простыми суждениями можно изобразить на логическом квадрате или в виде графа, в котором две верх­ ние вершины — общие понятия (от­ ношение противоположности), ниж­ ние — частные понятия (отношение соподчинения), две правые — отри­ цательные и две левые — положительные понятия (отношение под­ чинения), а АО и JE — противоречивые понятия. Суждение характеризуют две стороны: его форма и его истин­ ность. Используя свойства отношений между простыми суждениями А, Е, J, О, выраженные с помощью логического квадрата, мож­ но делать дедуктивные выводы, определяя истинность или лож­ ность заключений по истинности или ложности посылки. Преоб­ разование простых суждений имеет большое значение в процессе мышления, но не может осуществляться произвольно. Зная пра­ вила выводов для непосредственных умозаключений, мы сможем избежать логических ошибок. Обобщим правила построения умозаключений по логическому квадрату: из истинности общего суждения следует истинность ча­ стного, подчиненного ему суждения (Аи -> / и, Еи -> Ои), для про­ тиворечивых суждений справедлив закон исключенного третьего (Аи -> Ои, Еи -» / и или Ал -» О и ). Индексами «и» и «л» обозначены истинные и ложные суждения соответственно. Рассмотрим примеры. А. «Все пьесы — драматургические произведения» (и), но 0\ «Некоторые пьесы не являются драматургическими произведени­ ями» (л), Аи -> Ои, значит, Аи -> Ол. А: «Все местоимения — сказуемые» (л), но О: «Некоторые ме­ стоимения не являются сказуемыми» (и), Ал -> 0 И. Е: «Ни одна окружность не является многоугольником» (и), но J: «Некоторые окружности являются многоугольниками» (л), Ен -» / л. А: «Все союзы — сказуемые» (л), Б: «Ни один союз не является сказуемым (и)», Ал —>Еи. Истинно или ложно суждение «Ни один воспитанный человек не совершает аморальных поступков»? Это общеотрицательное суждение (Е). Определим истинность соответствующего общеутвердительного суждения. «Все воспитанные люди совершают аморальные поступ- 246