Спирина, М.С. Дискретная математика

конструирования умозаключений, необходимых для работы вы­ числительных машин. Для обработки текстов естественного языка на ЭВМ необходимо создание особых логических языков — неко­ торых формальных систем. Они должны удовлетворять известным требованиям непротиворечивости, полноты и др. для того, чтобы избежать различных логических ошибок и парадоксов. Для того чтобы ЭВМ могли выполнять умозаключения, необходимо с по­ мощью аппарата математической логики создать такую теорию, которая удовлетворяла бы всем перечисленным требованиям. Ус­ тановлено, что такой формальной системой являются исчисле­ ния предикатов первого порядка. Таким образом, проблема построения умозаключений за два тысячелетия своего существования нисколько не устарела, а даже приобрела особое значение. Так, работа будущих интеллектуаль­ ных машин нового поколения будет основана на идее логического программирования, в связи с чем востребованность в построении формальных систем будет возрастать. Поэтому необходимо позна­ комиться с видами умозаключений, известными из классической логики, а также с правилами выводов, которые проще и доступ­ нее сформулированы в исчислении предикатов. Операции с кванторами особо важны при работе с нечетко выраженными кванторными словами типа «не менее чем я», «по меньшей мере я», «я и только я» (где я е N), «хотя бы один из я». Такие кванторные слова называются «численными кванторами» и широко применяются при решении текстовых задач в практичес­ ких приложениях математики, например в теории вероятностей. Эти выражения могут быть заменены на равнозначные, не содер­ жащие числительных и состоящие только из терминов и знака тождественности. Так, для одноместного предиката предложение «По меньшей мере один объект обладает свойством Р» имеет тот же смысл, что и предложение «Существует хотя бы один объект, обладающий свойством Р »: Зх Р(х). Для двухместного предиката «Не более одного объекта обладает свойством Р» тождественно предложение «Если есть объекты, обладающие свойством Р, то они совпадают»: \?хЧу(Р(х) а Р(у) -> - » х = у). Тогда предложение «Один и только один объект обладает свойством Р» является конъюнкцией этих предложений. Предложения «По меньшей мере два объекта обладают свой­ ством Р» и «Существуют несовпадающие объекты х и у, которые обладают свойством Р» тождественны между собой и символи­ чески записываются в виде: ЗхЗу(/*(х) л Р{у) л х * у). Предложения «Не более чем два объекта обладают свойством Р» и «Каковы бы ни были объекты х, у, z, если все они обладают свойством Р, то по меньшей мере два из них совпадают» тожде­ ственны между собой и могут быть записаны символически: Vx,y, z(P(x) Л Р(у) A P(z)) -> (х = у) V (х = Z ) V (у = Z ) . 242