Спирина, М.С. Дискретная математика

? Но всегда ли построенное таким образом отрицание истинно? Утверждения 2а «Все выпускники колледжей продолжили об ­ разование в вузе» и 26 «Все выпускники колледжей не продолжи­ ли образование в вузе» не являются отрицанием друг друга, так как они оба ложны. Пары утверждений За «Некоторые выпускники колледжей про­ должили образование в вузе» и 36 «Некоторые выпускники кол­ леджей не продолжили образование в вузе» тоже не служат отри­ цанием друг друга, так как они оба истинны. Вторая и третья пары утверждений отличаются от первых тем, что содержат кванторные слова «все» и «некоторые». А при пост­ роении отрицаний для предложений, содержащих кванторы, прием введения отрицания не перед сказуемым не срабатывает. Можно воспользоваться другим, универсальным, приемом построения отрицаний предложений, содержащих кванторы, добавив общее отрицание неверно, что... Тогда во втором примере «Неверно, что все выпускники колледжей продолжили образование в вузе» со ­ впадает по смыслу с утверждением «Некоторые выпускники кол­ леджей не продолжили образование в вузе». Таким образом, отри­ цанием предложения 2а служит 36, а отрицанием За служит 26. Символически общее отрицание принято записывать с помо­ щью либо общей черты, либо отрицания самого квантора. Для отрицания предложения Ух(Ф(х)) возможны записи Ух(Ф(х)), или Vx (Ф(х)), или (Зх(Ф(х))): ?х (Ф (х )) <=>Зх(Ф<х)); для отрица­ ния Зх(Ф(х)) аналогично: Зх(Ф(х)), или Зх (Ф(х)), или Зх(Ф(х)): Зх(Ф(х)) <=> \т'х(Ф(х)). Эти равносильности являются обоснованием метода п о ­ строения отрицаний высказываний, содержащих кванторы. Для построения отрицания вы сказываний , содержащих квантор общности (V) существования (3) ’ существования (3) общности (V) достаточно заменить его на другой квантор и взять отрицание выражения, на которое этот квантор был «навешан». Для многоместных кванторов также применяется это правило: осуществляется последовательный перенос отрицания с квантор- ного слова на предложение, стоящее за квантором, а сам квантор заменяют на двойственный. Например, для формулы VxVy3z(/?(x, у, z)) построим отрицание: VxVy3z(/?(x, у, z)) <=> 3x(Vy3z(/?(x, у, z )) <=> 3x3y(3z(i?(x, у, z)) <=> 3x3yVz(/?(x, у, z)). В подразд. 4.8 была показана булева двойственность конъюнкции и дизъюнкции. Поэтому для сложных высказываний, состоящих из простых, раз­ деленных операциями конъюнкции и дизъюнкции, отрицание стро­ ится следующим образом: нужно все кванторы 3 заменить на V, и 239