Спирина, М.С. Дискретная математика

Например, запись х2 - 5х = 0 <=>х(х - 5) = Оявляется не форму­ лой, а истинным высказыванием о равносильности двух формул, представленных в виде уравнений. В то же время справедлива за­ пись Vx € R (х2 - 5х = 0) s (х(х - 5) = 0), выражающая истинное высказывание, которое включает операцию эквиваленции в каче­ стве составляющей. Поэтому логическое следование можно определить через имп­ ликацию, а равносильность через эквиваленцию. Так, для эквива­ ленции справедливо: «Две высказывательные формы £>, и Q2 ис­ тинны или ложны ((?! о Q2) одновременно с высказыванием Vx( 0|(х) s Q2( x ))», что и было ранее введено. Итак, существует различие в употреблении знаков «=»> и «—»», « о » и «=». Как изве­ стно, знаки «-»», «<-»> обозначают логические операции импли­ кации и равносильности и входят составной частью в формулы. Знаки «=>» и «<=>» обозначают определенные отношения между высказывательными формами, не входя в них в качестве состав­ ной части. Квантификация многоместных высказывательных форм. Пусть Q(x |, х2, ..., хя) — «-местная высказывательная форма. Ее замену на высказывательную форму Vx, Q(xu х2, х„ ..., х„) либо на Зх, Q(xh х2, X/, ..., х„) называют квантификацией высказывательной формы Q(x ь х2, х„ ..., х„) по переменной х,. В процессе такой квантификации эта /-я переменная связыва­ ется одним из кванторов, а «-местная высказывательная форма превращается в (« - 1)-местную. Это аналогично тому, что если ф ун кцию /(х |, х2, X/, ..., х„) проинтегрировать от а до b по пере­ менной х„ то полученный результат будет функцией от « - 1 пе­ ременной и не будет зависеть от х,: / (х ь х,_ь х/+1, х„) = ь = J / U b .... х,_и х„ хм , xn)dx,. Так, интеграл от функции од- а ной (« = 1) переменной является константой и вообще ни от чего не зависит. Пусть дана двухместная высказывательная форма х - у < О, определенная на Rx( 0 , +°°). Произведем квантификацию по пе- ^ „----- • * у ременной у («навесим» квантор общности). Получим одномест­ ную высказывательную форму Vy(x - у < 0) со свободной пере­ менной х. Если для фиксированного х = Хо будет выполнено У у (хд - - у < 0), то эта высказывательная форма превращается в истин­ ное высказывание, например, при х = -2 , а при х = 3 — в ложное. Если в одноместной высказывательной форме связать кванто­ ром и вторую переменную х, то можно получить высказывание: либо Зх Vy(x - у < 0) — истинное высказывание; Vx Vy(x - у < 0) — ложное высказывание. 233