Спирина, М.С. Дискретная математика

х 2 - 5х + 6 x - 2 Зх + 8 = 0 и х 2 - 5 x + 6 = 0 не являются равносильными. х 2 +1 = 0 и З х + 8 = 0 являются равносильными. 1п(х - 1) + ln (x + 1) = 2 и In (х2 - 1) = 2 не являются равносиль­ ными. Vx + 3 = х —1 и х + 3 = ( х - 1 ) 2 не являются равносильными. А _Qy 2 ~х ' - 0 и (4 - 8х)(2 + х) > 0 не являются равносильными. 4 - + 8х > 0 и (4 - 8х)(2 + х) > 0 являются равносильными. х2 - X4 > 0 и 1 - х2 > 0 не являются равносильными. В математике нарушение цепочки тождественных преобразова­ ний при решении уравнений или неравенств влечет за собой по­ терю имеющихся или приобретение посторонних корней, т.е. из­ менение множества истинности исследуемого предиката. Можно доказать, что отношение равносильности высказыватель- ных форм обладает известными свойствами, а именно, оно реф- лективно и симметрично. В том случае, когда одинаковые перемен­ ные в каждой из исследуемых форм принимают значения из од­ ного множества, отношение равносильности будет обладать также и свойством транзитивности. Тогда назовем равносильным преобразованием высказывательной формы Q, ее замену на равносильную форму Q2. Две равносиль­ ные высказывательные формы с одинаковым набором перемен­ ных, для которых установлен одинаковый порядок, определяют один и тот же предикат. Эти свойства предиката используются при решении уравне­ ний и неравенств, которые тоже являются некоторыми выска- зывательными формами. Так, решение любого уравнения или неравенства предусматривает установление множества его истин­ ности, т.е. множества истинности соответствующего ему преди­ ката. В процессе поиска множества истинности производят замену одного предиката другим, равносильным данному, с целью упро­ щения имеющихся высказывательных форм. Например, 2 х - 13 + Х 2 - (бх 2 - 4х+ 5 - бх2) = 0 « 6х= 18 <=>х= 3, т.е. множество истинности каждого из этих уравнений состоит из одного числа 3. Рассмотрим примеры, для которых областью определения яв­ ляется множество действительных чисел: D = R. Для двух высказывательных форм —уравнений ( х - 2 ) (х - 3) = 0 {Qi) и х - 3 = 0 (С?2) — из х - 3 = 0 следует, что (х - 2)(х - 3) = 0, т.е. верна запись Q2 => Q\. Однако из ( х - 2)(х - 3) = 0 не следует х - 3 = 0. Например, х = 2 является корнем первого уравнения, но не второго. 230