Спирина, М.С. Дискретная математика

новых. Использование аксиоматики как модели построения систем и их дальнейшего развития могло бы, с одной стороны, система­ тизировать все имеющиеся знания, с другой — алгоритмизиро­ вать процесс поиска новых знаний. И такие примеры в истории математики есть. Так, А. Н. Колмогоров применил аксиоматиче­ ский метод к построению теории вероятностей. Благодаря этому из прикладной математической науки — «золушки математики» — теория вероятностей превратилась в XX в. в одну из самых бурно развивающихся фундаментальных наук, имеющих широкое прак­ тическое применение. 5.2. Исчисление высказываний Математика есть способ называть разные вещи одним именем. А. Пуанкаре В этом подразделе будет показано, как можно формализовать систему высказываний, придавая им семантическую характерис­ тику. Подчеркнем сразу разницу между той трактовкой (в частно­ сти, в булевых функциях) высказываний и тем, что будет описа­ но в этой главе. В гл. 3—4 рассуждения исходили от постулирован­ ных значений булевых функций и интуитивного соответствия, и многие тавтологии являлись следствиями. Здесь же будет предло­ жена жесткая аксиоматика и доказана их формальная непротиво­ речивость, а затем будет показано, что старые представления яв­ лялись одной из возможных интерпретаций. Исчисление высказываний есть формальная теория Т, в кото­ рой заданы: 1) алфавит А: • связки -1 (или —), (дополнительно можно ввести d e f ------------------— d e f ___ связки л и v: А л В = А В, A w В - А - у В)\ • ( , ) — служебные символы, позволяющие определить порядок выполнения связок; • D, В, ..., Аи Ви ... — переменные высказывания; 2) формулы F : • переменные есть формулы; _ • если А, В — формулы, то (А) и (А -» В) — формулы; 3) аксиомы Р: . Л : (А - » (В -> А)У, • Р2: ((<4 —» (В —> С ) ^—» ((/4 —» В) —» (А —> С))); • Ру ( ( В - >А ) - * ( ( Д - » Л ) - > В)У, 4) правило modus ponens ( mp ): —правило заключения (от лат. modus — способ, правило; ponens — отделение, заключение). 219