Спирина, М.С. Дискретная математика

1 Т а б л и ц а 5.1 Отличительные особенности геометрии Евклида и геометрии Лобачевского Геометрия Евклида Геометрия Лобачевского Через точку, не лежащую на пря­ мой, проходит одна и только одна прямая, параллельная данной Через точку, не лежащую на пря­ мой, проходит любое число нетож­ дественных прямых, параллельных данной Сумма углов любого треугольника равна л Сумма углов треугольника — ве­ личина всегда меньше, чем л, при­ чем дефект угла пропорционален площади треугольника Существует четырехугольник, име­ ющий четыре прямых угла Не существует четырехугольника с четырьмя прямыми (л /2) углами Существуют подобные, не равные между собой треугольники Любые подобные треугольники обязательно равны между собой Расстояние между параллельными прямыми — величина постоянная Расстояние между параллельными прямыми неограниченно умень­ шается в одном направлении и уве­ личивается в другом Вокруг всякого треугольника мож­ но описать окружность Существуют треугольники, вокруг которых нельзя описать окруж­ ность Геометрия Евклида реализуется на плоскости, причем справедлива теорема Пифагора ds2 = dx2+ dy1 Геометрия Лобачевского реализу­ ется на верхней полуплоскости, причем справедлива «теорема Пи­ фагора» в виде ds2 = (dx2+ dy 2)/у2 Евклидова плоскость — простран­ ство постоянной нулевой кривиз­ ны Плоскость Лобачевского — про­ странство постоянной отрицатель­ ной кривизны над созданием таких систем аксиом, которые бы подчинялись тре­ бованиям непротиворечивости, полноты, независимости, выво­ димости. Так удалось доказать, что система аксиом геометрии Ло­ бачевского непротиворечива, если непротиворечива аксиоматика Евклида. Система аксиом евклидовой геометрии, в свою очередь, непротиворечива, если непротиворечива аксиоматика действитель­ ных чисел. Арифметика действительных чисел непротиворечива, если непротиворечива аксиоматика натуральных чисел. Таким образом, непротиворечивость различных обширных об­ ластей, охватывающих по меньшей мере все разделы элементарной математики, оказалась сведенной к проблеме непротиворечивости 216