Спирина, М.С. Дискретная математика

удаленности L = {М(х, у, z) | (х - а)2+ (у - b )2 + (z - с )2 = г2} (а это уравнение сферы) и уравнение плоскости, проходящей через центр О с координатами (о; Ь\ с): Р= {М(х, у, z ) \ A ( x - а) + В ( у - b) + C ( z - - с) = 0}. Окружностью ( Е ) будет множество точек, принадлежа­ щих и сфере ( L ), и плоскости ( Р ), т.е . их пересечение: Е= L Г) Р- Поэтому для нахождения этих точек надо решить систему двух урав­ нений. Итак, окружность Е = {М(х, у, z ) \ ( x - а)2+( у - b)2 + ( z - с)2 = = г2, А(х - а) + В(у - b) + C(z - с) = 0}. Пример второй. Пусть А ={a, b, с, g, е}, В ={а, с, е, f г, т }, тогда A\JB = {a, Ь, с, g, e , f , г, т }, А{ \В = {а, с , е}, A \ B = {b, g}, В \ А = ={f, г, т)^ A A B ={b, g , f г, т}. Обратим внимание, что для разности двух множеств не выполняется переместительный закон: А \ В * ФВ \А . Это становится очевидным, если одно множество пустое (например, А), а другое — непустое. Свойства операций над множествами. Операции над множества­ ми обладают рядом свойств, похожих на свойства операций сло ­ жения и умножения чисел. Рассмотрим законы, справедливые для любых множеств А, В, С. 1. ИU B=B\JA, АС\В= ВР\А — переместительный закон (комму­ тативность) для операций объединения и пересечения. Посколь­ ку (а это нетрудно доказать) это свойство справедливо для любо­ го конечного числа множеств, то удобно использовать знаки U и П для обозначения объединения и пересечения многих множеств. П Например, ( J 4 означает объединение п множеств вне зависимо- /=1 сти от того, какое из них считать первым, вторым и т.д . 2. ( ^ U £ ) U C = ЛЩД и С ) ; ( ЛП 5 ) ПС = ЛП ( ^ ПС ) - сочета­ тельный закон (ассоциативность) для операций объединения и пересечения. 3. (A U В) П С - (А П С) U (В П С) — распределительный закон (ди ­ стрибутивность) пересечения относительно объединения м н о ­ жеств. 4. (АГ\В)11 С - (AIJ C)f)(B[J С) — распределительный закон объединения относительно пересечения множеств. 5. A 'JA = А, А ПА = А, А с (A\J В) — законы поглощения. 6 . U - 0 ' и 0 = I f , т. е. универсальное и пустое множества явля ­ ются дополнениями друг друга. 7. Если обозначить через Э, все подмножества Аь Аг, А3, Л„ множества А, то будут справедливы равенства: А=[]А / и л\ПЛ=1М\4). I / Операция дополнения обладает рядом характерных свойств. 8 . Для любого множества X c z U справедливой = ( Х'У =X. 9. Для любых двух множеств X и Y справедливо: если X с U, Y с U, то (ЛГП Y)’ = X ’(J Г или (ЛГУ У)' = Х'П Y . 19