Спирина, М.С. Дискретная математика

множество планет Солнечной системы U = {Земля, Марс, Вене­ ра, Юпитер, Сатурн, Уран, Меркурий, Нептун}. Заметим, что понятие универсального множества четко не определено, т.е. н е ­ корректно. U можно включить в другое множество W, и оно тоже будет универсальным. Например, долго считалось, что множество действительных чисел R универсально (т.е. описывает всю мате­ матику), пока не открыли поле комплексных чисел С и надкомп- лексные числа и не поняли, что не существует универсального числового множества. Тем не менее там, где область объектов не выходит за рамки некоего множества, иногда бывает удобно оп е ­ рировать с этим термином. Ведь ржаное поле — вселенная для мыши. Равными называют два множества А и В, состоящие из одина­ ковых элементов: А - В. Например, равны множества решений уравнений 4х - 8 = 16, х/15 = 2/5 и 5 *_3 = 125, так как их решением является одно и то же число 6 . Равны множества букв, из которых составлены слова «навес» и «весна». Равны множества корней уравнения х 2 = 1 и множество М = {(-1)*, к = 0, 1 , 2 , ...}. Поэтому задача «решить уравнение», знакомая с детства, в реальности означает «решить уравнение в каком-то множестве». Так, уравнение х 2 + 1 = 0 не имеет действи­ тельных корней: {х| хг 2 + 1 = 0, х е R} = 0 , но имеет два комплекс­ ных корня х = I, х = (xjx 2 + 1 = 0 , х е €} = {/', -/}. Равенство двух множеств А и В означает также, что А с В и В с А. И наоборот, выполнение свойств А с В и В с А означает выполнение равенства А - В. Эти утверждения равносильны. Число элементов множества А называется мощностью множе­ ства и обозначается \А\ или п{А). Так, мощность пустого множе­ ства равна 0: и(0) = 0, а мощность множества планет Солнечной системы n(U) = 8 или \U\ = 8 . 1.2. Основные операции над множествами Все правила достойного поведения давным-давно известны, остановка за малым —за умением ими пользоваться. Б. Паскаль Введение операций над множествами. Из данных множеств А и В можно построить новые множества с помощью операций объеди­ нения, пересечения, вычитания и др. (табл. 1 . 1 ). Пример первый. Окружность----- множество точек плоскости, равноудаленных от даннопА^РУример» О), называемой центром. Математически для ее нах эждения^адо заддгь ущвнение равно- 17