Спирина, М.С. Дискретная математика

Множество считается заданным, если или перечислены все его элементы, или указано свойство, которым обладают те и только те элементы, которые принадлежат данному множеству. Первый вариант будем записывать так: М = {ть тъ ..., тк}, например, М = {0, 1}. Последний вариант будем записывать так: М = {Ь\Р(Ь)}. Такая запись читается как: М состоит из тех (всех) элементов Ь, которые обладают признаком Р. Например, М = {п | п е N, п < 5} означает: М составляют только те натуральные числа, что меньше пяти. Само свойство Р будем называть характеристическим. В каче­ стве характеристического свойства может выступать указанная для этого свойства порождающая процедура, которая описывает спо­ соб получения элементов нового множества из уже полученных элементов или из других объектов. Тогда элементами множества считаются все объекты, которые могут быть получены с помощью этой процедуры. Например, множество М" = {1, 2, 4, 8 , 16, 32, ...} всех чисел, являющихся неотрицательными степенями числа 2 ( М ? = { 2 '| i е Z, / > 0}), можно задать с помощью порождающей функции по индуктивным (подробно см. в гл. 5) правилам: . 1 е М"\ • если k е М", то (2 к) е М". Итак, запись М = {х|Р(х)} означает: множество М состоит из всех элементов х, обладающих признаком Р. Например, запись М = {xlx 3 + Зх 2 + 2х = 0} означает, что множество М содержит только корни данного уравнения, т.е. числа {0; -1 ; -2}. Запись Z - {ЙГ| | ОХ\ < 4} означает, что для любых X расстояние ОХ меньше или равно 4, т.е. множество всех точек, для которых расстояние до X не больше 4, есть шар с центром в точке О и радиусом R = 4. Запись Л = {х|х > 7, х е N} читается так: для любых натуральных х, начиная с 7. Отметим, что в записи М = {х| Р{х)} переменная х является «немой», т.е. несущественной: от нее ничего не зависит. Можно было бы употребить любую другую букву, например у, и все равно это было бы «множество всех элементов, обладающих признаком Р», а как называть элементы — несущественно: глав­ ное, чтобы они обладали признаком. Если множество не содержит элементов, обладающих характе­ ристическим признаком, то оно называется пустым и обозначает­ ся 0 . Например, множество целых решений неравенства 5 < х < 6 является пустым: ЛГ={х|хе Z , 5 < x < 6 } = 0 . Пустым будет множе­ ство действительных решений уравнений х 2 + 25 = 0 и 5 2х~3 = -1. Множество, не являющееся пустым, называется непустым. ? Всегда ли удается, соблюдая все правила, задать множество? На­ пример, как задать множество всех множеств? Будет ли такое множество содержать себя как отдельный элемент, ведь по указанному характери­ стическому свойству оно должно содержать все возможные множества, а значит, и себя? 15