Спирина, М.С. Дискретная математика

Всякое суждение, утверждающее что-либо о чем-либо, назы­ вают высказыванием, если можно сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Напомним, что характери­ стика суждения по признаку истинности-ложности называется семантической. Рассмотрим примеры повествовательных предло­ жений. 1. Умение грамотно использовать логические операции повы­ шает эффективность программирования. 2. История логики насчитывает около двух с половиной тыся­ челетий. 3. Знание математической логики необходимо любому специа­ листу. 4. Математическая логика —увлекательная наука. 5. х> 5. 6 . Была метель. 7. Он — программист. Предложения 1, 2, 3 являются высказываниями, а 4 и 5 — нет. Однозначно для всех людей определить отношение к науке невоз­ можно, так же как невозможно определить истинность неравен­ ства х> 5, не зная значений переменной х, входящей в него. Не является высказыванием и предложение 6 , так как нет достаточ­ ной информации, чтобы установить, истинно оно или ложно (где и когда?). Однако предложение х > 5 может стать высказыванием, если будут известны конкретные значения переменной х. Так, если задать множество значений х: х е {0, 2, 5, 7, 12}, то высказыва­ ния 0 > 5 , 2 > 5, 5 > 5 будут ложными, а 7 > 5, 12 > 5 — истинными. Истинными будут высказывания 1 и 2, ложным — третье, так как есть множество профессий, для которых знания математической логики не обязательны. Предложение «Он — программист» станет высказыванием при подстановке вместо местоимения «он» имени отдельного человека. Используя кванторные слова «всякий», «не­ который», «есть» и др., тоже можно получить высказывания. На­ пример, «Всякий человек есть программист» — ложное высказы­ вание. Заметим, что предложения вида 5 и 7 подробно изучает логика предикатов, с которой мы познакомимся в гл. 5. Формализацией высказываний называют операцию замены вы­ сказывания естественного языка формулой математического язы­ ка, включающего высказывательные переменные и символы тех логических операций, которые соответствуют структуре самого высказывания. Предложения, употребляемые в повседневной речи, приобре­ тают вид формулы, если каждую смысловую составляющую про­ верять на предмет истина-ложь. Сам же результат в зависимости от того, реализовалось событие или нет, также имеет дихотоми­ ческую основу (двоичный исход). Поэтому фактически речь идет о функциях над множеством {истина, ложь}. Но из гл. 1 известно, 132