Спирина, М.С. Дискретная математика

3.3. Отношения между понятиями — Какая разница между пуганой вороной и письменным столом?.. Л. Кэрролл П онятия , как и предметы или и деи , им соотв етствующ и е , н а ­ ходятся в оп р ед ел енны х отн ош ения х , в заим о свя зях друг с другом . Если содержания понятий имеют общие признаки, они назы­ ваются сравнимыми. Например, телевидение и радио — понятия сравнимые, так как имеют общий признак — они являются сред­ ствами массовой информации. Компьютер и снегопад — далекие, несравнимые понятия. Виды отношений между понятиями по объему удобно предста­ вить в виде графа, а взаимосвязи между его частями проиллюст­ рировать с помощью кругов Эйлера (рис. 3.5). Одной из наиболее характерных особенностей современной математики является ее высокая степень абстрагирования. Поня­ тие объединяет множество объектов, обладающих определенны­ ми свойствами. Некоторая абстрактная теория выводит следствия из этих свойств, которые впоследствии можно будет применить к любому объекту этого множества. Абстрагирование достигается за счет выполнения логической операции обобщения. Благодаря обобще­ нию мы переносим свойства одного объекта на свойство другого, с ним родственного. Так, доказав, что в данном прямоугольном треугольнике, имеющем стороны длиной 3, 4 и 5, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, мы обобщаем этот вывод сначала на все прямоугольные треугольники со сторонами, пропорциональны­ ми этим числам («египетский треугольник» вида (Зк)2 + (4 к)2 = = (5 к)2), а затем на произвольный прямоугольный треугольник, т. е. а2+ Ь2=с2. Рассматривая некоторое множество (1) (рис. 3.6), можно со ­ вершить операцию обобщения (перейти к предку (2) — «надмно­ жество»), провести операцию ограничения и рассматривать част­ ный случай (потомок (5) — «подмножество») или рассмотреть аналогичные понятия, расположенные на одном уровне (братья (3) и (4)). Для понятия «параллелограмм» аналогичными, т .е . облада­ ющими сходными свойствами, будет понятие «параллелепипед» (и в меньшей степени — «прямая призма»). Обобщением понятия «параллелограмм» является многоуголь­ ник, а ограничением — виды параллелограмма, например ромб или прямоугольник (рис. 3.7, а). 111